1899 · boz_006267 — Longue lettre autographe signée, Mathématiques FIBONACCI Laisant Painlevé, 1899 Mathématicien allemand Exceptionnelle et très longue lettre autographe signée d'Edmund LANDAU, adressée au mathématicien français Charles-Ange LAISANT, datée du 31 Octobre 1899 à Paris. Rédigée à l'encre noire sur deux doubles feuillets de papier vélin, avec ses initiales gaufré bleues en entête. Cette lettre ne constitue pas une simple correspondance de courtoisie, mais un remarquable manuscrit mathématique préparatoire, qui documente la phase de recherche ayant conduit à la publication de 1899. En 1899, Charles-Ange Laisant pose le problème de la détermination de la somme des inverses des nombres de la suite de Fibonacci. Edmund Landau, alors jeune docteur de 22 ans à l'aube d'une carrière qui fera de lui l'un des plus grands théoriciens des nombres du siècle, s'empare de la question. Dans cette lettre, Landau répond directement à Laisant ( "Quant au problème que vous m'avez proposé hier soir, j'y ai réfléchi et suis parvenu aux résultats suivants..." ) et lui livre l'intégralité des calculs qui jetteront les bases directes de son article devenu une référence classique dans l'étude de cette série : "Sur la série des inverses des nombres de Fibonacci" , publié la même année dans le Bulletin de la Société Mathématique de France (Tome 27, p. 298-300). En introduction, Landau évoque ses démarches pour entrer à la Société Mathématique de France (SMF), révélant un double parrainage d'une immense distinction : Paul Painlevé et Charles-Ange Laisant lui-même. "Je viens d'avoir parlé à M. Painlevé. Il veut bien avoir l'obligeance de me présenter à la société mathématique de France ; mais, étant empêché d'assister à la séance suivante, il vous prie de dire en son nom qu'il me servira de parrain ensemble avec vous." Landau déploie une démonstration magistrale pour ramener la somme des inverses aux indices impairs de la suite de Fibonacci à des fonctions connues. Il utilise et cite explicitement : - La formule de Binet pour les termes de Fibonacci (un). - La transformation de la série en produits et sommes infinies complexes. - Les fonctions Thêta (ϑ) de Heinrich Weber ("les fonctions désignées par ϑ00(0) et ϑ10(0) dans le traité de M. Weber") . - La célèbre formule de produit infini de Gauss ("en faisant usage de la formule de Gauss..."). Landau conclut avec une remarquable lucidité sur les limites de l'analyse de son époque concernant les indices pairs : "l'étude de la somme des nombres inverses [pairs] semble dépasser les moyens actuels de l'analyse, tandis que celle des nombres 1/u11/u3... a été ramenée à des fonctions connues." Dimensions : 13 x 17,2 cm État : Très bel état de conservation. Voir photos et description pour plus de détails. Nombre de pages : 7 pages
